Functional Analysis

Lecturer: Prof. Dr. Moritz Weber

Assistants: Luca Junk, Dr. Francesca La Piana

Inhalt

In vielen Bereichen der Mathematik verhalten sich Vorgänge in etwa wie Funktionen, die man aus der Analysis I-III kennt. In der Funktionalanalysis weiten wir unser Denken nun auf unendlich-dimensionale Räume aus. Im Zentrum stehen dabei lineare Abbildungen zwischen diesen Räumen sowie deren (verallgemeinerte) Eigenwerte und deren Diagonalisierung. Insofern kommen in der Funktionalanalysis Methoden aus der linearen Algebra und der Analysis zusammen, aber auch die Toplogie und die Algebra spielen eine Rolle. 
Ein wichtiges Merkmal der Funktionalanalysis ist außerdem, dass sie auch nichtkommutative Strukturen von "Funktionen" untersucht. So wird eine Mathematik entwickelt, bei der für zwei Funktionen f und g nicht mehr notwendigerweise fg = gf gilt. Das ergibt eine Art "nichtkommutativer Toplogie bzw. Maßtheorie" und somit Werkzeuge, die beispielsweise für die Quantenmechanik unverzichtbar sind.

Wir werden in dieser Vorlesung unendlich-dimensionale Vektorräume mit Topologien versehen und u.a. die Sätze von Hahn-Banach und Baire beweisen. Banach- und Hilberträume sowie Operatoren auf ihnen werden eingeführt und deren Spektraltheorie studiert. Es werden erste operatoralgebraische Aspekte behandelt, wie Banach- oder C*-Algebren.

Kenntnisse in der linearen Algebra und der Analysis werden vorausgesetzt. Die Vorlesung ist 4-stündig und eine Übung wird angeboten, so dass 9 Leistungspunkte erworben werden können.

Die Vorlesungssprache ist Englisch, es sei denn alle Hörer*innen sprechen Deutsch.

Content

In many areas of mathematics, processes behave roughly like the functions familiar from Analysis I–III. In functional analysis, we now extend our perspective to infinite-dimensional spaces. The focus is on linear maps between these spaces, as well as their generalized eigenvalues and diagonalization. In this sense, functional analysis brings together methods from linear algebra and analysis, while topology and algebra also play an important role.

An important feature of functional analysis is that it also studies noncommutative structures of “functions.” In this way, one develops a kind of mathematics in which, for two functions f and g, it is no longer necessarily true that fg = gf. This leads to a form of “noncommutative topology or measure theory” and thus to tools that are indispensable, for example, in quantum mechanics.

In this lecture course, we will equip infinite-dimensional vector spaces with topologies and prove, among other results, the Hahn–Banach theorem and Baire’s theorem. Banach and Hilbert spaces, as well as operators on them, will be introduced, and their spectral theory will be studied. Initial aspects of operator algebras, such as Banach and C^*-algebras, will also be discussed.

Knowledge of linear algebra and analysis is required. The lecture course consists of four hours per week, and exercise sessions will be offered, so that 9 credit points can be earned.

The language of the course is English by default, unless all participants speak German.

Scheinvoraussetzungen/Course Credit Requirements

Durch Erreichen von mindestens 50% der Gesamtpunktzahl auf den Übungsblättern, wird die Zulassung zur Prüfung erworben. Das Bestehen dieser Prüfung ist die Voraussetzung für den Schein. 

Admission to the exam is obtained by achieving at least 50% of the total points on the exercise sheets. Passing this exam is a prerequisite for receiving credit for the course.

Literature

• John Conway, A course in functional analysis, Springer, 1990
• Peter Lax, Functional Analysis, Wiley, 2002
• Gert Pedersen, Analysis now, Springer, 1995
• Walter Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill, 1991
• Orr Shalit, A first course in functional analysis, CRC Press, 2020
• Orr Shalit, The analyst's gambit: A second course in functional analysis, CRC Press, 2025
• Dirk Werner, Funktionalanalysis, Springer, 2018
• Moritz Weber, Lecture Notes on Functional Analysis, 2013
• Moritz Weber, Lecture Notes on Functional Analysis, 2017

The library provides access to these books via the course shelf.

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